"Das Problem des Raumes" ist der Titel eines Buches von Max Jammer (1960), geschmückt mit einem Vorwort von Albert Einstein. Die Natur des uns umgebenden Raums wurde zuerst im frühen 19. Jahrhundert zum Gegenstand wissenschaftlicher Untersuchung und C. F. Gauß führte von 1818 bis 1826 ein großräumiges Triangulationsexperiment durch, das innerhalb enger Fehlergrenzen den Raum als Euklidisch bestätigte. Erst nachdem Einstein seine allgemeine Theorie der Relativität publiziert hatte, wurde der Raum und sein Begriff problematisch und in der Folge zu einem eigenen Forschungsbereich innerhalb der Physik.
Die griechische Antike hatte zwar die Euklidische Geometrie der Ebene weitläufig diskutiert und angewandt, aber keinen Begriff eines dreidimensionalen Raums gebildet; der Platz der Dinge waren ihre ‚natürlichen Örter‘. Der dreidimensionale Euklidische Raum wurde erst durch Descartes in die Mathematik eingeführt. Newton dachte diesen Raum als absolut ruhend und existierend, obwohl er unter keinen Umständen unter die Erfahrung der Sinne kommt, während er für Leibniz nirgendwo anders als in den Relationen zwischen Körpern zu finden war. Kants Begriffe von Raum und Zeit, sofern sie Euklidisch bzw. Newtonisch sind, stehen im Zusammenhang mit der Frage: wie ist reine Naturwissenschaft möglich? Diese Frage ist aber nicht identisch mit der Frage nach der Möglichkeit sinnlicher Wahrnehmung überhaupt! Entsprechend kommt Kant zu einem amphibolischen (zweideutigen) Verständnis von Raum und Zeit: in Bezug auf die reine Wissenschaft denkt er beide transzendental-ideal, d.h. als aprioristische Anschauungsformen. Über den Raum schreibt er:
Der Raum ist kein empirischer Begriff, der von äußeren Erfahrungen abgezogen worden… Demnach kann die Vorstellung des Raumes nicht aus den Verhältnissen der äußeren Erscheinung durch Erfahrung erborgt sein, sondern diese äußere Erfahrung ist selbst nur durch gedachte Vorstellung allererst möglich.
(KrV, Von dem Raume)
Darüber hinaus gesteht er Raum und Zeit aber auch empirische ‘Objektivität‘ zu, denn die reflexiven Verstandesbegriffe an-sich-genommen führen laut Kant in die Irre; sie sind ‚objektiv‘ nur insofern als sie sich auf ihren empirischen Gebrauch beziehen – d.h. auf mögliche Erfahrung (wozu z.B. das Fallen in Schwarze Löcher nicht gehört!). Die Amphibolie der Verstandes- und Sinnesbegriffe verweist meiner Meinung nach auf ein dem Euklidischen gegenüberstehendenden Raumbegriff, der aber selbst keine mathematisch-geometrische Struktur aufweist. Natürlicher Kandidat für diesen anderen Raumbegriff ist der Leibnizsche relationale ‚Raum‘. Aber kann der Euklidische Raum, wie Kant es will, synthetisch a priori sein, wenn er in gewissen Verhältnissen zum relationalen ‚Raum‘ steht oder kann er aus diesem abgeleitet werden?
Der Euklidische Raum ist eine dimensionale Erweiterung (N=3) der ebenen Euklidischen Geometrie (N=2), welche durch Euklid in seinem berühmten Werk ‘Elemente’ begründet wurde. Einige Schwächen sowie Zweifel an der Unabhängigkeit des Parallelenaxioms führten David Hilbert zu einem Set von zwanzig ‚Elementen‘, dessen Schicksal schon entschieden war als der Mathematiker René Thom die fürchterliche Komplexität von Hilberts Werk beklagte. Heute ist es auf Basis der Metalogik allgemein akzeptiert, dass es keine affirmative Definition des Euklidischen Raums geben kann, die gleichzeitig konsistent und vollständig ist. Ein völlig anderer Ansatz hatte Felix Klein zu seinem Erlanger Programm (ca. 1872) geführt, in dem er zeigte, dass der Euklidische Raum (wie andere Räume auch) einer Symmetrie und somit einem Erhaltungssatz korrespondiert. Demnach ist der Euklidische Raum durch eine Gruppe von Transformationen (Translation, Rotation, Reflektion) definiert unter der die Längen und Winkel eines Körpers invariant sind. Dieser Erhaltungssatz ist somit eine Negation, ein Verbot. Praktisch gesprochen ist der Euklidische Raum der Raum in dem Körper unter beliebigen Kombinationen aus Translation und Rotation nicht brechen (die Reflektion ist in diesem Zusammenhang irrelevant). Kleins Ansatz liefert daher keine logisch-affirmative Definition des Euklidischen Raums, sondern ‚nur‘ seine Absolute Widerspruchsfreiheit im Licht menschlicher, und das heißt, empirischer Erfahrung. Kleins Art und Weise sich mit dem Problem des Raums auseinanderzusetzen fand allerdings nicht das Wohlwollen der Mathematiker, weil sie hinter dem Erhaltungsprinzip des Euklidischen Raums eine empirische Bestimmung vermuteten – daher Hilberts späterer Versuch einer affirmativ-axiomatischen Definition. Im Folgenden werde ich versuchen zu zeigen, dass Kleins Ansatz, obwohl er die menschliche Erfahrung berücksichtigt und sogar auf ihr beruht, doch nicht auf diese reduziert werden kann und somit die aprioristische Natur des Euklidischen Raums nicht kompromittiert.
Es gibt einen Korpus menschlichen Wissens – innerhalb der natürlichen Sprache – körperliche Operationen und Relationen in der Welt betreffend. Dieses Wissen geht der Mathematik (und Physik) historisch und genetisch um Jahrtausende voraus. Grammatikalisch ist dieses Wissen durch Präpositionen, Adjektive und Adverbien repräsentiert, die den Bereich möglicher körperlicher Verhältnisse und Operationen erschöpfen (vor, über, links von, hinter, um...herum, hinein, entlang, in(nerhalb), gegenüber, hindurch, zwischen, etc.) Als Relationen zwischen Körpern haben sie keinerlei geometrische Struktur; der sprachliche ‚Raum‘ ist rein relational (Leibniz’ Argument). Die Idee eines expliziten, von den Dingen unabhängigen Raums kam erst mit dem Euklidischen Raum in die Welt, d.h. mit Descartes. Der Schritt, den Descartes tut, ist der Schritt vom linguistisch-relationalen zum expliziten, dreidimensionalen Euklidischen Raum. Während spätere Versuche den Euklidischen Raum axiomatisch zu beschreiben scheitern, weil schon das, was die Begriffe ‚Punkt‘ oder ‚Linie‘ bedeuten, nicht in die Domäne der Mathematik fällt, umfasst Kleins Ansatz den Euklidischen Raum in Gänze, weil er nicht versucht ihn affirmativ zu beschreiben, sondern ihn in das richtige Verhältnis zum sprachlich-operationalen ‚Raum‘ setzt. Was aber ist das richtige Verhältnis zwischen sprachlich-dinglich-operationaler Erfahrung (A) und geometrisch-euklidischem Raum (B)? Die Antwort ist Absolute Widerspruchsfreiheit, analog zu ∫AB=0, d.h. im Sinne des Nichtteilens eines gemeinsamen Maßstabes und damit im Sinne von Orthogonalität. Dann ist der Euklidische Raum der Raum, der der menschlichen operationalen Erfahrung Absolut nicht widerspricht. Aus diesem Grund ist der Euklidische Raum, obwohl er historisch und genetisch dem sprachlich-operationalen, d.h. relationalen ‚Raum‘ nachfolgt, doch synthetisch a priori (Kants Argument). Jetzt wird deutlich, dass Kleins Ansatz zwar die menschliche Erfahrung berücksichtigt, aber dennoch nicht den Euklidischen Raum auf sie zurückführt.
Nun könnte man den Euklidischen Raum durch ein Gedankenexperiment angreifen, indem wir einen Geburtstagskuchen immer schneller rotieren lassen, bzw. ihn auf den Boden fallen lassen. Im ersten Fall werden wir beobachten, dass sich der Kuchen deformiert und schließlich in radialer Richtung ‘explodiert’, während er im zweiten Fall ‘ein Fall für den Mülleimer wird’. Da in beiden Fällen Längen und Winkel des Kuchens nicht invariant bleiben, könnte man rechtmäßig argumentieren, dass der Raum, in dem der Kuchen existiert, unter schneller Rotation bzw. rapider Abbremsung, wenigstens temporär nicht-Euklidisch geworden ist. Ein Beobachter, der nicht mit dem Kuchen rotiert bzw. fällt würde einer Veränderung des Raums aber nicht zustimmen und er könnte dies durch die Platzierung von Testkörpern nahe dem rotierenden/fallenden Kuchen sehr einfach beweisen. Die klassische Mechanik vermied solche Dilemmata dadurch, dass sie den Euklidischen Raum unberührt lies und statt dessen bewegungsabhängige Kräfte einführte. Seitdem verstehen wir die Deformation von Körpern als verursacht durch auf sie wirkende statische oder bewegungsabhängige Kräfte. Kräfte konservieren daher nicht nur den sprachlich-kausal-relationalen, sondern auch den Euklidischen Raum. Einstein opferte ihn um gewisse Prinzipien (Galiläische Relativität, die Äquivalenz schwerer und träger Masse sowie das Machsche Prinzip) unter einen mathematischen ‘Hut’ zu bringen. Diese mathematische Theorie, die allgemeine Relativitätstheorie, wird seit ihrer Veröffentlichung 1915 als ultimative physikalische Erkenntnis gefeiert, obwohl sie sich jeder menschlichen Erfahrung entzieht, denn auf Daten basierende Modelle liefern keine Erfahrung in Sinne Kants sondern Wahrscheinlichkeiten.
Für Einstein, seine Kollegen und Nachfolger ist die mathematisch korrekte Transformation eines oder die Verquickung (Reduktion) mehrerer Naturgesetze wiederum ein Naturgesetz. Die mathematische Extrapolation der Physik verhindert aber die Rückkehr zu den sprachlichen Dingen, da diesen die Verstandesbegriffe, wie etwa der Euklidische Raum, inkommensurabel gegenüberstehen. Die Physik des 20. Jahrhunderts geht darum einher mit dem ‚Export‘ ihrer gewaltsam ‚rückübersetzten‘ mathematischen Konsequenzen in die unerfahrbare Vergangenheit, in die unerreichbaren Tiefen des Weltraums oder in die Quantenwelt, der definitorisch jede kausale Interaktion mit der makroskopischen Erfahrungswelt verboten ist. Paradoxien und Absurditäten sind die unvermeidliche Folge. Raumzeit, Konfigurations- und Hilberträume sind der Erfahrung nicht zugänglich; sie mögen als physikalische Interaktionsmodelle mit Daten kompatible sein, sind aber aus Nichterhaltungsgründen mit der Erfahrung unvereinbar. Die Physik, und die Wissenschaft im Allgemeinen, unterhält eine Vielfalt von Räumen um gewisse Probleme zu lösen. Mit Ausnahme des Euklidischen teilen sie die Eigenschaft unanschaulich zu sein und uns zu ‘shut up and calculate’ zu verdammen. In einigen Fällen können sie als nützliche Werkzeuge zur Berechnung gewisser Systemparameter angesehen werden, aber sie tendieren dazu sehr schnell zu physiko-mathematischen Zombies zu degenerieren wenn sie objektiviert und verabsolutiert werden und damit die Möglichkeit des Absolut-nicht-falschen Rückbezugs auf die Erfahrung verloren geht.