Logique formelle

Selon le philosophe allemand Wolfgang Detel: «La logique [formelle] est une théorie spécifique de l’argumentation. Elle vise à démontrer de manière claire et vérifiable ce que sont des arguments nécessaires.  (...) Bien que la logique ait souvent été décrite comme une théorie des lois [ou structures] de la pensée, celle-ci n’appréhende cependant pas la pensée d’un point de vue général mais s’occupe d’une forme bien spécique de raisonnement: la preuve.»

La logique formelle se distingue d'autres théories dites «logiques», comme par exemple la «logique transcendantale» de Kant (1724-1804) ou la «science de la logique» de Hegel (1770-1831), qui étudient les structures de la pensée humaine et constituent donc des théories métaphysiques.

La logique formelle est une théorie normative qui vise à évaluer la validité de nos inférences et nous indique comment trouver de bons arguments. Pour ce faire, elle se base sur des schémas logiques qui font abstraction du contenu particulier des propositions qui en composent les arguments, et analyse les inférences valides de par leur forme uniquement.

Fondateur de la logique, Aristote développe, dans son traité de l'Organon, une théorie des syllogismes. Le syllogisme est une forme de raisonnement qui met en relation trois propositions. Selon cette théorie:

1. si les deux prémisses (hypothèses) sont vraies,
2. alors la conclusion (preuve) ne peut qu'être vraie également.

Voici un exemple concret de syllogisme:

• Socrate est un homme - vrai
• Tous les hommes sont mortels - vrai
• Socrate est donc mortel - vrai

Règles d'inférence les plus connues définies par les stoïciens:

Modus ponens:

• P
• si P, alors Q
• donc Q

Notation formelle:

• P
• P → Q
• ⊢ Q

Modus tollens:

• Si P, alors Q
• non Q
• donc non P 

Notation formelle:

• P → Q
• ¬ Q
• ⊢ ¬ P

Achille fait une course avec une tortue à laquelle il accorde cent mètres d’avance. D’après Zénon, Achille ne pourra jamais rattraper la tortue, bien qu'il court plus vite qu'elle. Voici son raisonnement: une fois qu'Achille aura rattrappé la moitié de son retard (50m), il lui restera encore la moitié de ce retard à rattrapper. De plus, la tortue continue à avancer. Une fois qu’il aura donc rattrappé la moitié des 50 mètres, il lui restera toujours minimum 25 mètres à rattraper. Puis il ne lui restera plus que 12m50, puis 6m25, et ainsi de suite. D'un point de vue logique, et bien qu’il ne cesse de se rapprocher de la tortue, Achille ne pourra donc jamais rattraper entièrement son retard: il restera toujours une distance, même infime, entre lui et la tortue.

Ce raisonnement logique a été exposé par Zénon D'Elée en 500 av. J.-C. Bien que fautif et certainement considéré comme tel par Zénon lui-même, cet argument reste néanmoins totalement logique et constitue en ce sens un paradoxe. Comment expliquer en effet qu'Achille dépassera la tortue à un moment donné? Ce paradoxe sera ensuite entièrement résolu par les mathématiques.

De Zénon d’Elée à nos jours, beaucoup de paradoxes ont constitué le point de départ de réflexions et de recherches philosophiques. Les paradoxes montrent des tensions dans nos opinions quotidiennes, des incohérences dans nos concepts et des fautes parfois subtiles dans nos raisonnements. Le but de la philosophie et notamment de la logique est non seulement de trouver de tels paradoxes, mais également de les résoudre en développant des théories et des concepts toujours plus précis.

Découvrez les paradoxes de Zénon en vidéo:

• La dichotomie ou le paradoxe de la tâche infinie
• Le paradoxe d'Achille et la tortue
• L'espace peut-il être "discret"?